Serre Condition

释义 / Definition

Serre 条件（Serre condition）：代数几何与交换代数中的一类局部深度条件，通常记作 **(Sₙ)**。对一个 Noether 环或有限生成模 \(M\)，它要求对每个素理想 \( \mathfrak p \)： \[ \mathrm{depth}(M_{\mathfrak p}) \ge \min\{n,\ \dim(M_{\mathfrak p})\}. \] 直观上，它用“深度（depth）”来衡量对象在各个局部点处的“非奇异/良好性”。（在实际使用中还常与 (Rₙ) 等正则性条件一起出现。）

发音 / Pronunciation (IPA)

/sɛr kənˈdɪʃən/

例句 / Examples

A normal domain satisfies the Serre condition (S2).
一个正规整环满足 Serre 条件 (S2)。

In Hartshorne’s text, Serre conditions are used to relate depth properties to geometric singularities of schemes.
在 Hartshorne 的教材中，Serre 条件被用来把深度性质与概形的几何奇点联系起来。

词源 / Etymology

“Serre condition” 得名于法国数学家 Jean-Pierre Serre（让-皮埃尔·塞尔）。这类条件在 20 世纪代数几何与交换代数的发展中被系统化，用来刻画局部深度与奇点性质之间的关系；其中 (Sₙ) 的记号也与 Serre 的工作传统相关。

相关词 / Related Words

• Depth
• Dimension
• Local
• Localization
• Prime
• Noetherian
• Cohen–Macaulay
• Normal
• Regular
• Singularity
• Scheme
• Sheaf

文学作品 / Literary Works

• Algebraic Geometry（Robin Hartshorne）：在讨论正规性、深度、局部性质时常出现 **Serre’s conditions (Sₙ)**。
• Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry（David Eisenbud）：在深度、Cohen–Macaulay 性质、正规性等章节中使用 **(Sₙ)**。
• The Rising Sea: Foundations of Algebraic Geometry（Ravi Vakil，讲义）：在概形的奇点与局部代数性质处常提及 Serre 条件。
• *Éléments de géométrie algébrique (EGA)*（Grothendieck & Dieudonné）：与概形的局部性质与深度相关的框架中会用到 Serre 条件。